क्षेत्रफळ व घनफळ — सर्व सूत्रे एका ठिकाणी

क्षेत्रफळ व घनफळाचे प्रश्न सूत्रे पाठ असल्यास काही सेकंदांत सुटतात. सर्व महत्त्वाची सूत्रे इथे एकत्र दिली आहेत.

द्विमिती आकार (Area & Perimeter)

चौरसाचा कर्ण = बाजू × √२ आयताचा कर्ण = √(लांबी² + रुंदी²)

त्रिकोणासाठी हेरॉनचे सूत्र तिन्ही बाजू a, b, c माहीत असल्यास: s = (a+b+c)/2 क्षेत्रफळ = √[s(s–a)(s–b)(s–c)]

त्रिमिती आकार (Volume & Surface Area)

शंकूची तिरकस उंची: l = √(r² + h²)

घनाचा कर्ण = बाजू × √३ इष्टिकाचितीचा कर्ण = √(l² + b² + h²)

उपयुक्त संबंध

• शंकू, अर्धगोल व दंडगोल यांची त्रिज्या व उंची समान असल्यास घनफळांचे गुणोत्तर १ : २ : ३
• π ≈ २२/७ किंवा ३.१४
• चौरसाची बाजू दुप्पट केल्यास क्षेत्रफळ चौपट
• वर्तुळाची त्रिज्या दुप्पट केल्यास क्षेत्रफळ चौपट
• घनाची बाजू दुप्पट केल्यास घनफळ आठपट

सोडवलेली उदाहरणे

१. एका आयताची लांबी १२ मी व रुंदी ५ मी. कर्ण किती? √(१२² + ५²) = √(१४४+२५) = √१६९ = १३ मी

२. वर्तुळाची त्रिज्या ७ सेमी. क्षेत्रफळ? πr² = (२२/७) × ७ × ७ = १५४ सेमी²

३. घनाची बाजू ५ सेमी. घनफळ व पृष्ठफळ? घनफळ = ५³ = १२५ सेमी³ पृष्ठफळ = ६ × २५ = १५० सेमी²

४. दंडगोलाची त्रिज्या ७ सेमी व उंची १० सेमी. घनफळ? πr²h = (२२/७) × ४९ × १० = १,५४० सेमी³

शेतीविषयक प्रश्न (तलाठीसाठी उपयुक्त)

तलाठी परीक्षेत जमीन मोजणीशी संबंधित प्रश्न येऊ शकतात:

• १ हेक्टर = १०,००० चौरस मीटर
• १ हेक्टर = १०० आर
• १ एकर ≈ ४,०४७ चौरस मीटर
• १ हेक्टर ≈ २.४७ एकर
• १ गुंठा = १०१.१७ चौरस मीटर (सुमारे)
• १ एकर = ४० गुंठे

उदाहरण: २ हेक्टर जमीन किती एकर? २ × २.४७ = ४.९४ एकर

सरावाच्या टिपा सूत्रांची एक स्वतंत्र वही करा. π = २२/७ वापरल्यास त्रिज्या ७ च्या पटीत असेल तेव्हा गणित सोपे होते. जमीन मापनाची एकके तलाठी परीक्षेसाठी विशेष लक्षात ठेवा.