गुणोत्तर, प्रमाण व वयवारी — सोडवण्याच्या पद्धती

गुणोत्तर व प्रमाण हा घटक वाटणी, भागीदारी व वयवारी अशा अनेक प्रकरणांचा पाया आहे.

गुणोत्तर (Ratio)

दोन समान एककांच्या राशींची तुलना. a : b असे लिहितात, म्हणजे a/b.

• गुणोत्तराच्या दोन्ही पदांना एकाच संख्येने गुणले किंवा भागले तर गुणोत्तर बदलत नाही
• २ : ३ = ४ : ६ = ६ : ९

वाटणीची गणिते एकूण रक्कम a : b : c या प्रमाणात वाटायची असल्यास — प्रत्येकाचा हिस्सा = एकूण × (त्याचे पद / पदांची बेरीज)

उदाहरण: ₹९,००० ही रक्कम २ : ३ : ४ मध्ये वाटा. बेरीज = ९ हिस्से = ९००० × २/९ = ₹२,०००; ९००० × ३/९ = ₹३,०००; ९००० × ४/९ = ₹४,०००

प्रमाण (Proportion)

दोन गुणोत्तरे समान असल्यास त्यांचे प्रमाण होते. a : b = c : d

मुख्य नियम: a × d = b × c (टोकांचा गुणाकार = मधल्यांचा गुणाकार)

उदाहरण: ४ : ६ = ६ : x असल्यास x? ४ × x = ६ × ६ → x = ३६/४ = ९

साखळी गुणोत्तर a : b आणि b : c दिले असल्यास a : b : c काढण्यासाठी **b समान करा**.

उदाहरण: A : B = २ : ३, B : C = ४ : ५ B समान करण्यासाठी: A : B = ८ : १२, B : C = १२ : १५ म्हणून A : B : C = ८ : १२ : १५

भागीदारी

नफा भांडवल × कालावधी या प्रमाणात वाटला जातो.

उदाहरण: A ने ₹५,००० १२ महिने, B ने ₹८,००० ६ महिने गुंतवले. नफा ₹३,९०० कसा वाटावा? A चा वाटा = ५००० × १२ = ६०,००० B चा वाटा = ८००० × ६ = ४८,००० गुणोत्तर = ६०००० : ४८००० = ५ : ४ A = ३९०० × ५/९ = ₹२,१६७, B = ३९०० × ४/९ = ₹१,७३३

वयवारी

वयाच्या प्रश्नांसाठी चल मांडणी ही सर्वात विश्वासार्ह पद्धत आहे.

सोडवण्याच्या पायऱ्या 1. सध्याचे वय **x** मानून सुरुवात करा 2. *पूर्वी* असल्यास वजा करा, *नंतर* असल्यास बेरीज करा 3. दिलेल्या अटीवरून समीकरण मांडा

उदाहरण १: पित्याचे वय मुलाच्या वयाच्या तिप्पट आहे. ५ वर्षांनी ते दुप्पट होईल. सध्याचे वय? मुलगा = x, पिता = 3x ५ वर्षांनी: 3x + 5 = 2(x + 5) 3x + 5 = 2x + 10 → x = ५ मुलगा ५ वर्षे, पिता १५ वर्षे.

उदाहरण २: A व B च्या वयांचे गुणोत्तर ३ : ४ आहे, आणि त्यांच्या वयांची बेरीज ३५ आहे. दोघांचे वय? 3x + 4x = 35 → 7x = 35 → x = 5 A = १५, B = २०

उपयुक्त नोंद गुणोत्तर दिले असेल तर **पदांना x ने गुणून** सुरुवात करा — यामुळे समीकरण सोपे होते.

सरावाच्या टिपा वयवारीत *पूर्वी* व *नंतर* नीट वाचा — तिथेच बहुतांश चुका होतात. भागीदारीत कालावधी वेगळा असल्यास भांडवल × काळ हा गुणाकार विसरू नका.